[2015년 대진고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n+2} over {n-3} + lim _{n -> INF } {{5 ^{n+1} +2 ^{n}} over {5 ^{n} -3 ^{n+1}}}}]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2`} +ax+b} over {x -2}}=5]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

등비수열 [eqn: LEFT { (x+2)(x^2 -2x)^n-1RIGHT }]이 수렴하는 정수 [eqn: x]의 개수는?
[4.2점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음 조건을 모두 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)]의 값은? [4.2점]

④

(가) [eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {2x ^{2} +x+1}} =1]

(나) [eqn: lim _{x-> 3} {{f(x)} over {x ^{2} -5x+6}} =7]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f(x)= sum _{k=1} ^{10} x ^{2k-1}]에 대하여 [eqn: f` prime (1)]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 36]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 100]

아래 그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB _{1}]을 지름으로 하는 원 [eqn: C _{1}]이 있다. 선분 [eqn: rmAB _{1}]을 [eqn: 2``:`1]로 내분하는 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmAB _{2}]를 지름으로 하는 원을 [eqn: C _{2}]라고 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 원을 그릴 때, 모든 원의 둘레의 길이의 합은?  [4.3점]

⑤

① [eqn: 6pi]	② [eqn: 9 pi]	③ [eqn: 12 pi]

④ [eqn: 15 pi]	⑤ [eqn: 18 pi]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 아래 그림과 같을 때,
[eqn: lim _{x-> -1-} {f(x)+ lim _{x-> 1} {f(x)- lim _{x-> 2-} {f(x)}}}]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} - {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}} over {n ^{3}} RIGHT )]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} -x+a} over {x-2} &```(x != 2)#b&```(x=2)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

다음 그림은 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프이다. 다음 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고르면? [4.4점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 1} {f(x)g(x)=-1}]

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)+g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=k+2], [eqn: f(1)=k-3]을 만족시킬 때, 방정식 [eqn: f(x)-x=0]이 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.4점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(3)=-2], [eqn: f` prime (3)=-3]을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-3) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 한다. [eqn: R(1)]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} b _{n}}=0]

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}b _{ n}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} != 0]이면

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} =0]이다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )]이 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]도 모두 수렴한다.
ㄹ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)]이 수렴하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )]도 수렴한다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄴ, ㄷ	③ ㄱ, ㄷ, ㄹ
④ ㄱ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

아래 그림은 닫힌구간 [eqn: [1,```6]]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)=x ^{2} -6x+10]의 그래프이다. 구간 [eqn: [1,```6]]에서 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= {f(x)-f(1)} over {x-1}]이라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. [eqn: g(4)<g(6)]

ㄴ. [eqn: g(x)=0]일 때, [eqn: x=5]이다.

ㄷ. [eqn: g(x)>0]일 때, [eqn: 5 LEQ x LEQ 6]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x>0]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{ax ^{n+b} +6x-5} over {x ^{n} +1}}]
가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 26]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 50]

함수 [eqn: f(x)=(x+1)(2x+3)]과 [eqn: lim _{x -> 1} {{g(x)-3} over {x ^{2} -1}} =4]를 만족시키는 다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라고 정의할 때, [eqn: h prime (1)]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 66]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 102]

④ [eqn: 107]	⑤ [eqn: 122]

서술형

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } {an ^{2} +216} over {9n ^{2} -6n-8} =b]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 5b+3a]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 126]

함수 [eqn: y=a LEFT [ x RIGHT ] ^{4} +3b LEFT [ x RIGHT ] +1```(a != 0)]이 [eqn: x=0]에서 극한값을 갖도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: {b} over {a}]([eqn: a], [eqn: b]는 서로소)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않는 최대의 정수이다.) [10.0점]

[eqn: {1} over {3}]

[eqn: f(x)=x ^{n}]([eqn: n]은 양의 정수)의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=nx ^{n-1}]([eqn: n]은 양의 정수)임을 증명하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: lim _{h -> 0} {} {(x+h) ^{n} -x ^{n}} over {h} =lim _{h->0} left{nx ^{n-1} +h(...)right}]

[2015년 대진고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

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